PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR

El producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V ² y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo.¹ Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídeatradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

donde  es un espacio vectorial y  es el cuerpo sobre el que está definido . La función  (que toma como argumentos dos elementos de , y devuelve un elemento del cuerpo ) 

El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espaciotridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde  es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Vectores y Escalares. 

En física debemos distinguir entre vectores y escalares.

Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección.

La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son vectores.

El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud, no tienen dirección asociada a ellas.

Los vectores se representan mediante flechas, en que la longitud de la flecha se traza proporcionalmente a la magnitud del vector. Las letras que representan vectores se escriben en negrita.

1.- Suma de Vectores. Método Gráfico
Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo  = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante V_R, es la suma de los vectores V₁ y V₂, o sea, escribimos V_R = V₁ + V₂ Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:
(1) Use una misma escala para las magnitudes.
(2) Trace uno de los vectores, digamos V₁
(3) Trace el segundo vector, V₂, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.
(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.
Notemos que V₁ + V₂ = V₂ + V₁, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V₁, V₂, y V₃ representados a continuación:

V_R = V₁ + V₂ +V₃ es el vector resultante destacado con línea gruesa.

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

2.- Resta de Vectores
Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como
 A - B = A + (-B)
De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

ENERGIA MECANICA

La energía mecánica es la energía que presentan los cuerpos en razón de su movimiento (energía cinética), de su situación respecto de otro cuerpo, generalmente la tierra, o de su estado de deformación, en el caso de los cuerpos elásticos. Es decir, la energía mecánica es la suma de las energías potencial (energía almacenada en un sistema), cinética (energía que surge en el mismo movimiento) y la elástica de un cuerpo en movimiento.

A través de la misma se expresa la capacidad que tienen los cuerpos con masa de realizar tal o cual trabajo.

La energía mecánica se conserva, por tanto, no se crea ni se destruye. En el caso particular de sistemas abiertos conformados por partículas que interactúan a través de fuerzas puramente mecánicas o de campos conservativos, la energía se mantendrá constante con el correr del tiempo. De todas maneras, existen casos de sistemas de partículas en los cuales la energía mecánica no se conserva.

Entre los tipos de energía mecánica se cuentan los siguientes: energía hidráulica (se dejará caer el agua y se aprovechará la energía potencial que se obtiene de ello. Su uso recurrente es para producir energía eléctrica y para mover molinos de harina), energía eólica (la producen los vientos generados en la atmósfera terrestre. También se emplea a instancias de la producción de energía eléctrica como mecanismo de extracción de aguas subterráneas o de ciertos tipos de molinos para agricultura) y energía mareomotriz (producida por el movimiento de las mareas y de las olas del mar, también se puede transformar en energía eléctrica).

ELASTICIDAD

En física, el término de elasticidad denomina la capacidad de un cuerpo de presentar deformaciones, cuando se lo somete a fuerzas exteriores, que pueden ocasionar que dichas deformaciones sean irreversibles, o bien, adoptar su forma de origen, natural, cuando dichas fuerzas exteriores cesan su acción o potencia.

Y ahora, vamos con un ejemplo. Y como hay miles, tomaremos uno bien simple: si yo agarro una banda elástica (de esa que se utilizan para sostener y atar cosas, como papeles enrollados o un puñado de lápices) tendrá cierta forma de origen que cambiará de manera drástica si con mis manos la estiro hacia ambos lados. Claramente, ha sufrido una deformación, y tiene capacidad para que esa deformación se produzca. Sin embargo, esa deformación cesará cuando yo cese la fuerza que ejerzo sobre la banda elástica, y volverá a su tamaño de origen, incluso cuando en la mayoría de los casos, tras ser sometida a este tipo de fuerzas en ocasiones reiteradas y constantes (y de magnitud considerable) podrá presentar deformaciones irreversibles, que en este caso, estarán relacionadas con un aspecto más “estirado” de la banda elástica.

  La elasticidad, es una propiedad mecánica de los sistemas, decimos que un material es elástico cuando al aplicarle una fuerza, se deforma, y, al dejar de aplicar la fuerza, vuelve a su forma original.

Los materiales que al ser deformados y dejar de aplicar la fuerza, no vuelven a su forma original, se llaman inelásticos o plásticos. 

Son materiales elásticos, un resorte, una gomita elástica, la piel, los músculos, entre otros.

Materiales plásticos, son por ejemplo un chicle, plasticina, cemento...


Todos los materiales elásticos tienen un límite de elasticidad, lo cual significa que si aplicamos una fuerza mayor al límite de elasticidad, el material queda deformado o se rompe.

Las partículas se mantienen unidas por fuerzas de atracción entre ellas, las que hacen que al separarlas vuelvan a su lugar, pero si las separamos demasiado, éstas fuerzas no son suficientes para volver a unirlas. El límite elasticidad depende de cada material.

INERCIA

“Todo cuerpo conserva indefinidamente su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, si sobre él  no actúa ninguna fuerza que lo obligue a cambiar dicho estado".

 

A ésto se lo denomina inercia.

Cuando un bus arranca de golpe, los pasajeros que están de pie, son impulsados hacia atrás como si trataran de contrarrestar ese efecto para conservar el estado de reposo que tenían. Por el contrario, si está en movimiento y frena de golpe, los cuerpos son impulsados hacia adelante.

Estos ejemplos, ilustran la primera ley de Newton: el "principio de inercia".

 

La inercia es la resistencia al cambio. Cuanto mayor es la masa del cuerpo, mayor es su inercia.

La inercia en Física designa a la incapacidad de los cuerpos para salir del estado de reposo o de movimiento o variar las condiciones de ese movimiento, en forma independiente de una fuerza exterior.

La primera ley de Newton, que sienta el principio de inercia, nos explica que un cuerpo en reposo o en movimiento, ya sea uniforme o rectilíneo, permanecerá en estado de reposo o conservará cuantitativamente su movimiento, si las fuerzas que actúan sobre él desde el exterior son iguales a cero. La inercia es proporcionalmente directa a la masa del cuerpo.

La cantidad de masa y el tensor de inercia son los factores de los que depende la inercia mecánica, que es la antes definida. La que se relaciona con la masa total del cuerpo se denomina inercia traslacional, y la relacionada con el eje de GIRO, en cuanto a como se distribuye la masa del cuerpo, se denomina rotacional.

Otro tipo de inercia es la térmica que es la propiedad  de los cuerpos para conservar el calor e ir liberándolo en forma gradual, evitando de esta manera grandes variaciones térmicas. Depende de la masa, del calor específico y de la densidad del cuerpo. El suelo es un elemento natural de gran inercia térmica. Se usa mucho en construcción con respecto a la climatización de los ambientes. Si la inercia térmica es mucha, también lo será la estabilidad térmica.

MOVIMIENTO

Se dice que un cuerpo se mueve cuando cambia su posición respecto de la de otros supuestos elementos fijos, o que se toman como referencia para tal fin.

El movimiento es, por tanto, un cambio de posición que se manifiesta con el tiempo.

El carácter relativo del movimiento

De acuerdo con la anterior definición, para estudiar unmovimiento es preciso fijar previamente la posición del observador que contempla dicho movimiento. En física hablar de un observador equivale a situarlo fijo con respecto al objeto o conjunto de objetos que definen el sistema de referencia. Es posible que un mismo cuerpo esté en reposo para un observador -o visto desde un sistema de referencia determinado- y en movimiento para otro.

Así, un pasajero sentado en el interior de un avión que despega estará en reposo respecto del propio avión y en movimiento respecto de la pista de aterrizaje. Una bola que rueda por el suelo de un vagón de un tren en marcha, describirá movimientos de características diferentes según sea observado desde el andén o desde uno de los asientos de su interior.

El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo no es, por tanto, absoluto o independiente de la situación del observador, sino relativo, es decir, depende del sistema de referencia desde el que se observe.

El concepto de cinemática

Es posible estudiar el movimiento de dos maneras:

a) describiéndolo, a partir de ciertas magnitudes físicas, a saber: posición, velocidad y aceleración (cinemática);
b) analizando las causas que originan dicho movimiento (dinámica).

En el primer caso se estudia cómo se mueve un cuerpo, mientras que en el segundo se considera el porqué se mueve.

La cinemática es la parte de la física que estudia cómo se mueven los cuerpos sin pretender explicar las causas que originan dichos movimientos.

El concepto de trayectoria

Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño.

Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas a lo largo del tiempo. La estela que deja en el cielo un avión a reacción o los raíles de una línea de ferrocarril son representaciones aproximadas de esa línea imaginaria que se denomina trayectoria.

La trayectoria es la línea casi siempre imaginaria descrita por el cuerpo móvil a lo largo de su movimiento. Su forma permite una clasificación muy general en curvilíneos y rectilíneos.

Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos. Un coche que recorra una calle recta describe un movimiento rectilíneo, mientras que cuando tome una curva o dé una vuelta a una plaza circular, describirá un movimiento curvilíneo.

MASA

La masa es una de las magnitudes fundamentales de la física.

La masa de una estrella

De hecho, muchos fenómenos de la naturaleza están, directa o indirectamente, asociados al concepto de masa.

Un primer acercamiento al concepto de masa se puede expresar al decir que “masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo”.

Entender esa afirmación requiere, sin embargo, conocer  el concepto demateria.

Los científicos suelen definir materia como todo aquello que posee inercia, y aquí aparece el concepto de inercia.

Por el momento, solamente diremos que un cuerpo tiene inercia si para modificar su estado, entiéndase como cambiar su movimiento, requiere de que sobre él se aplique una fuerza neta. Una fuerza que tenga un valor distinto de cero.

La fuerza aplicada a una masa.

Materia, entonces, al ser todo aquello que posee inercia, sería todo aquello que requiera una fuerza para detenerse o iniciar su movimiento…,  ahora aparece el concepto de fuerza.

Por lo visto, para hablar de materia, debemos referirnos, necesariamente, a otros conceptos, pues bien, sigamos con lo más básico entonces.

Una porción de materia, que también vendría a ser una porción de masa, se puede reducir a la más pequeña de sus partículas que la componen, y nos encontraríamos con los átomos. Los átomos son, por el momento, la unidad de la materia. Una materia o una masa cualquiera es –al final de cuentas– una cierta cantidad de átomos (muchos átomos con toda seguridad).

A modo de curiosidad: una persona de 70 kg de masa tendría, aproximadamente: 3,41 x 10²⁸ electrones, 3,41 x 10²⁸ protones y 7,76 x 10²⁷ neutrones.

Ahora, la materia más común que nos rodea está formada por al menos dos tipos de materiales diferentes, que combinados dan origen a una mezcla. Por ejemplo, en la etiqueta de una camisa podemos leer que la tela tiene 70 por ciento y  30 por ciento poliéster. Ahí tenemos una mezcla.

Hombre promedio: 70 kilogramos de masa.

Las mezclas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Si la materia de la mezcla no está distribuida uniformemente, la mezcla es heterogénea, y si está distribuida uniformemente entonces es una mezcla homogénea.

Una mezcla homogénea puede ser de dos tipos: homogénea propiamente tal, si está compuesta por al menos dos materiales en una distribución uniforme o, una sustancia si la materia que compone a la mezcla es la misma en todas sus partes, en este caso la materia es pura en la naturaleza y ésta puede ser: un compuesto, formado por dos o más tipos de átomos o un elemento, formada por un solo tipo de elemento (corresponde a una materia formada por algún elemento químico, de esos que están en la Tabla Periódica).

Como ven, entender el concepto de masa, no es tan simple, requiere más conocimientos para ser rigurosamente precisos.

Pero, si pensamos que el concepto de masa se va a enseñar a niños pequeños, que les falta aún madurez para su formación intelectual, entonces debemos hacer algunos supuestos y pasar por alto algunas cosas.

Todas las cosas son masa.

A partir de ejemplos de masa podemos llegar. ¿Qué es masa?...  casi todas las cosas que nos rodean son masas, algunas masas se pueden ver y otras no se pueden ver.

Una piedra o un ladrillo o una persona,  las podemos ver y son masas, el aire no lo podemos ver pero está compuesto de masa, masa compuesta de partículas materiales muy pequeñas, que son imposibles de ver si no usamos un microscopio bien poderoso.

La masa se mide en kilogramos ¿y el peso?

La unidad de medida de masa es el kilogramo, también se usa el gramo, donde un gramo es la milésima parte de un kilogramo (1 gr = 0,001 kg).

En las transformaciones en el universo como traspasos, transporte, transferencia de materia la masa involucrada permanece constante.

La masa es una magnitud medible, la materia aparte de ser algo concreto también se puede expresar como una explicación cualitativa de un cuerpo cualquiera.

Podemos decir características de una materia, por ejemplo, podemos decir que en la naturaleza se encuentra en tres estados posibles, visibles o “sensorialmente” captables: sólido, líquido y gas.

Una materia puede ser dúctil, flexible, rígida, etc., puede ser salada, dulce, etc.

La masa es la medida, en kilogramos o gramos e incluso toneladas, de una cierta cantidad de materia. 1 kilogramo de pan, por ejemplo.